LES CANNES À MOUCHE de DANIEL BRÉMOND

Études de profils et résultats

Les cannes de Walter BRUNNER. Les « Wave action » et « One piece action »

Force est de constater, et mon expérience couvre plusieurs décennies, une amélioration des cannes à mouches. Elles sont plus légères, elles permettent de lancer plus loin, et surtout elles demandent moins d’énergie au lanceur, elles fatiguent moins. A ce sujet, le bon test c’est de faire des faux lancers avec une longueur donnée de soie, par exemple 10 à 12m. C’est surprenant comme la crampe musculaire arrive vite. Et ce d’autant plus que la canne est plus…SOUPLE ! Oui, la souplesse fatigue ! Les flexions, augmentées sur une canne souple, absorbent de l’énergie. C’est comme pour un pneu, un matelas, ou une semelle: Plus ils sont souples « pour plus de confort » plus ils consomment de carburant ou épuisent nos muscles ! À ce sujet une digression sur la qualité des soies : ceux qui ont eu la chance d’utiliser des soies naturelles ont pu juger « qu’elles fonctionnaient bien », sans pour autant réaliser pourquoi. On a parlé de densité supérieure... ? La raison n’est pas là. Prenez une soie naturelle et un échantillon de soies synthétiques et tirez dessus. Vous constaterez que la soie naturelle ne s’allonge pratiquement pas comparée à la moyenne des soies synthétiques. Et plus les soies s’allongent au cours du lancer pendant lesquels elles sont soumises à de fortes tractions, plus elles absorbent d’énergie, cette part étant soustraite à celle que vous avez produite pour les propulser. Si vous hésitez entre deux soies, tirez dessus et choisissez celle qui s’allonge le moins !

Mais revenons à l’amélioration des cannes.

Elle est à mettre au compte, pour une bonne part, de nouveaux matériaux. Ainsi, les fibres de verre ont été surclassées et abandonnées. Mais le choix de la longueur, de la distribution des épaisseurs, ce qu’on appelle le profil, a aussi joué un rôle essentiel. En particulier pour le merveilleux matériau qu’est le bambou refendu.

Sur 50 ans d’observation, les cannes en bambou se sont raccourcies, allégées, un progrès auquel a contribué pour les constructions amateurs la « structure alvéolaire », et ont gagné en puissance, expression vague qui signifie qu’on peut communiquer plus d’accélération à la soie grâce à une augmentation bien distribuée des épaisseurs.

Cette évolution s’est faite essentiellement de façon empirique, selon le principe « essais / résultats » et très minoritairement par « calculs / résultats ». J’expliquerai pourquoi j’ai choisi la deuxième démarche.

La première se conçoit si on dispose d’une méthode de taillage qui permette de modifier facilement les profils. Mais même sur une courte longueur, moins de 3 m, avec des épaisseurs déjà expérimentées, en particulier au point clef où le lanceur communique l’énergie qui va propulser la soie c'est-à-dire dans la poignée, les possibilités de variations sont immenses et les réussites rares. Telles les dernières cannes de l’autrichien Walter BRUNNER qui utilisait une machine rudimentaire comparée à celle de Pezon & Michel. Les baguettes circulaient sur une table mobile, la conicité était donnée par une came qui la relevait. Modifier cette came était l’affaire de quelques coups de lime. En faisant équipe avec le très bon lanceur Hans GEBETSROITHER, Walter BRUNNER a mis au point des cannes de plus en plus courtes, de plus en plus puissantes, vraiment très efficaces. Je possède une « Gebetsroither » 2,12 m pour soie N°6 qui est remarquable.

Voici son profil, mesuré sur le vernis.

Profil « Gebestroither » depuis le talon. La canne mesure 2,12 m. La poignée 23 cm. Je donne les cotes sur plats à 0,1 mm près, une meilleure précision n’ayant pas beaucoup de sens quand les mesures sont faites sur le vernis. J’ai fait figurer les cas où, suivant les trois directions possibles des mesures, la dispersion atteint 0,1 mm. On constate une forte conicité en sortie de poignée puis une très faible jusqu’à la virole. Comme elle est livrée avec deux scions, j’ai mesuré les deux sans trouver de différences significatives. On peut constater qu’il n’est pas facile de relier les points par un tracé « moyen ». Il n’en demeure pas moins que cette canne est vraiment très efficace pour catapulter une soie N°6 à la condition de pratiquer la double traction.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 V 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
P P P 8,2
8,1
7,7 7,5 7,4
7,3
7 6,9
6,8
5,9
5,8
5,6 5,5 5,2 4,9 4,6 4,25 3,8 3,2 3 2,7 2,4
2,3

Comme je préconise de représenter les profils depuis l’anneau de tête, voici le nuage de points de la canne de Walter BRUNNER avec, pour comparer, le profil d’une de mes cannes « Alcibiade » de longueur proche : 2,15 m mais qui est strictement prévue pour soie N°5.

Gebestroither
cm 212 200 190 180 170 160 150 140 130 115 110 100 90 80 70 60 55 40 30 20 10 5 0
mm x x x 8 7,6 7,5 7,4 7 6,8 6 5,9 5,6 5,4 5,1 4,9 4,6 4,3 3,7 3,3 3
2,9
2,7 2,4
2,3
x
« Alcibiade » 2,15m soie 5 - Assemblage en biseaux ce qui assure la continuité du profil.
cm 215 200 190 180 170 160 150 140 130 110 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
mm x 8,15 7,7 7,45 7,2 6,95 6,7 6,4 6,15 5,9 5,6 5,3 5,0 4,7 4,4 4,05 3,7 3,35 3,0 2,6 2,1 1,4
Nuages de points

J’ai essayé plus court, je crois une « Cheri » de 1,80 m pour soie N°5. Même satisfaction ! Merci de me permettre une nouvelle digression : Hans GEBETSROITHER et Aimé DEVAUX avaient la même corpulence. Ce dernier utilisait une canne en fibre de verre du célèbre magasin « Le coin de pêche » tenu par Sacha TOLSTOÏ. Aimé DEVAUX lançait en force, sur la truite. J’ai toujours pensé que son posé direct provoquait un mouvement réflexe, comme le geste machinal de chasser une mouche sur notre bras alors que ce n’est qu’une brindille qui nous a effleuré, en l’occurrence pour la truite un réflexe de prédation déclenchant le gobage. Je suis certain qu’Aimé DEVAUX aurait apprécié les cannes de Walter BRUNNER.

Je déconseille les plus courtes à ceux qui ne maîtrisent pas la double traction. Pour ma part je la pratique à toutes distances, sans forcer, le travail de ma main droite (je suis gaucher pour la pêche ou le tennis) soulageant la canne au lieu de la charger.

J’ai expliqué dans « de A à Z » combien la rencontre de Walter BRUNNER m’avait été profitable, m’incitant à maîtriser la totalité de la fabrication en partant des troncs de bambou bruts. Il avait exprimé un avis mitigé sur la structure alvéolaire, m’expliquant qu’il avait suffisamment de cannes à réparer et ne souhaitait pas se compliquer la vie !

C’est à Y.R., déjà à l’origine de mes recherches sur l’assemblage en biseau, que je dois de l’avoir rencontré. Y.R. m’avait donné rendez vous à Munich pour me faire découvrir quelques uns des merveilleux parcours du célèbre « Club du refendu » dont il était actionnaire. Quels souvenirs ! Des truites et ombres passant le kilo ! Et nous en avions ramenés, après les avoir plongés dans de l’air liquide, grâce à son ami JPM qui menait des recherches sur les éphémères à la faculté de Munich ! Une journée avait été consacrée à rendre visite à Walter BRUNNER. Y.R. qui avait aussi la passion de la photographie avait apprécié ses clichés d'odonates [1] mais l’essentiel avait porté sur la construction des cannes, Y.R. servant de traducteur.

Est-ce de la voix de Walter BRUNNER ou de celle de Tim BEDFORD, un autre artisan dont je reparlerai plus loin, que j’ai entendu pour la première les termes de « Waves action » et « One pièce action » ? Les deux qualificatifs méritent d’être expliqués.

Wave action et One piece action

Voilà qui nous change des heureuses formules, sur le plan publicitaire au moins, inventées par Charles RITZ telle : l’action parabolique ! ...qui ne se rapportent qu’à la courbure de la canne, et encore !

Une citation à ce sujet, assez claire même non traduite : « Charles Ritz later recognized the marketing potential of the phrase “parabolic action” in his book A Fly Fisher’s Life (1972) : “... This is the action which I have called “Parabolic,” though the term is only a figure of speech, and the curve of the rod has absolutely nothing to do with a parabola.” This sentence does not appear in the original French version of this book (1953)... »

Dans les deux expressions anglo-saxonnes, c’est la sensation ressentie par le lanceur et le mouvement de la canne qui sont évoquées. Je m’étonne quelles ne soient pas plus utilisées en France.

Qu’est ce qu’une « wave action » ? Cela concerne les cannes avec un profil en « Tour Eiffel » avec une forte conicité en sortie de poignée, et peu prononcée sur le scion. Il en découle une très forte courbure de la canne au cours du lancer, et la sensation d’une vague (d’où wave !) ou d’une onde de déformation qui se propage sans transition, le scion se comportant déjà comme un gros fil, jusqu’à la soie. Pensez à une cravache prolongée ! Ce n’est pas mon choix mais ce n’est pas désagréable du tout ! La boucle de soie est très serrée et elle se déploie bas sur l’eau du fait de la forte courbure de la canne. Pas plus haut avec une « wave action » de 8 pieds 2 pouces soit 2,50 m qu’avec une 1,80 m de W. BRUNNER ! Inconvénients : fatigue rapide, pas moyen de modifier la trajectoire si besoin, il faut suivre le mouvement plus que le diriger, ferrer avec le bras et non avec le poignet sinon l’anneau de tête se déplace à contre sens. Mais ça marche et certains lanceurs sont plus à l’aise avec ce type de canne qu’avec celles de BRUNNER ou les miennes, en particulier tous ceux, et ils sont nombreux, qui peinent à attendre le plein déploiement de la soie avant de la propulser dans l’autre sens. Du fait de la faiblesse du scion, avec les « wave action », il est justement nécessaire d’anticiper pour bander le ressort de la canne.

Et les « One pièce action » ? Quand j’ai construit l’ISO 80, 2,20 m, 80 g, comme déjà dit en introduction, j’ai été surpris par l’impression de disposer d’un grand bras de levier et surtout de ressentir nettement la force exercée par l’anneau de tête sur la soie. Cette première canne et toutes les suivantes construites selon ma méthode de calcul pour approcher de l’égale contrainte, se rattachent au type « One pièce action » qui peut dérouter un lanceur habitué à faire travailler la canne : elles plient peu. J’ai retrouvé ce type d’action sur certaines cannes en fibre de carbone.

J’ai développé cette question dans deux articles : « De A à Z » et « Cannes longues, cannes hautes ».

Dans le premier (visible ici), pour éviter les anglicismes j’ai utilisé les termes  « cannes propulsives » et « cannes impulsives ». Dans le second (non visible sur le site) je distinguais la longueur de la canne et la hauteur à laquelle la soie se déploie. Il est bien évident qu’en dépit de leur longueur, les cannes « wave action » ou « propulsives » ne tiennent pas plus haut la soie que les « one pièce action » ou « impulsives », même pour un écart de taille allant jusqu’à soixante centimètres.

Courbes des profils et courbes des résistances à la flexion - Une véritable « carte d’identité » des cannes : les courbes \(C4/k\)

Nous avons vu que la résistance à la flexion était proportionnelle à la puissance 4 du diamètre de la section (ou cote sur plats pour un hexagone). Ce n’est pas une situation courante. Si on double les dimensions d’un terrain son aire est multipliée par 4. Pour une cuve, son volume est multiplié par 8, pour une canne sa raideur est multipliée par 16 ! Pour cette raison, ce qu’on voit et peut mesurer, c'est-à-dire l’épaisseur, dissimule d’une certaine façon la grandeur physique qui intervient réellement, en l’occurrence la raideur ou résistance à la flexion \(R\) (qui est le produit du moment quadratique de la section \(Q\) par le module de Young \(Y\). Voir le chapitre « Résultats théoriques »)

Malheureusement, il est difficile sinon impossible de représenter sur un papier millimétré la variation de raideur d’une canne de la pointe du scion au talon, ce qui est pourtant sa caractéristique principale car c'est là que se cache l'action de la canne. Un exemple suffit pour le comprendre : imaginons que le diamètre varie de 1,6 mm en pointe à 8 mm au talon, donc dans la proportion de 1 à 5. Dans ce cas la raideur variera de 1 à 625 (625 = 5⁴) et il n’y a pas d’échelle qui permette de visualiser une telle amplitude (l’usage d’une graduation semi logarithmique ne résoud pas le problème car le graphique modifié masque d’une certaine façon la réalité physique).

Voici la méthode que je propose :

Voilà ce que j’obtiens pour les talons de trois cannes dont les cotes ont été publiées dans les deux versions de « La canne à mouche » de Josselin de Lespinay : la « Standard », « Alcibiade » et « Bourrasque ». Je trouve les schémas très « expressifs » ! Ils prouvent combien une modeste modification des épaisseurs produit une très forte modification de la raideur. À vous de juger !
18 avril 2020


Courbes C⁴ / 500 des talons de trois de mes cannes et de leurs profils
repérés dans l'ordre de leur sortie :

N° 1 « Standard » - N° 2 « Alcibiade » - N° 3 « Bourrasque »

On constatera l'amplification des augmentations de raideur par rapport à celles des épaisseurs : une augmentation de 20 % de l'épaisseur du talon de la « Standard » fait plus que doubler la raideur dans le bas du talon de « Bourrasque » !
Schéma : résistance à la flexion
Distances à l'anneau de tête
Comparaison de deux cannes en bambou refendu de 2,50 m de long, pour soies N° 5
Modèle Ritz de Pezon et Michel - 120 g
Ardente N° 61 construite en 1981 - 103 g - Structure alvéolaire - Assemblage par épissure
(ce n'est pas un profil calculé)
Comparaison de deux cannes

Mes travaux sur les profils de cannes. 04 mai 2020

Comme pour la structure alvéolaire et le dessin rationnel des assemblages en biseaux, je précise les rencontres qui ont favorisé mes recherches.

Celle de l’américain Tim BEDFORD qui, après avoir pris sa retraite, avait racheté l’atelier (machine et stock de bambous) de DICKERSON. Il avait donc fait ses débuts de constructeur au moment où d’autres préfèrent aller à la pêche. Sa passion l’a conduit deux fois en France, la première fois, en compagnie de son épouse, pour s’informer des techniques des constructeurs européens. Ils étaient passé me voir à Champagnole et je les avais retrouvés le lendemain à Amboise pour une visite chez Pezon et Michel fructueuse et sympathique malgré leur fatigue : mes chers amis n’ayant pas trouvé d’hôtel avaient passé la nuit dans leur voiture ! Leur prochaine étape était Hardy en GB. La deuxième fois Tim était seul, invité par Y.R. dans sa maison près de Champagnole. Il nous avait fait un exposé sur ses constructions. Le lendemain nous étions allé pêcher dans l’Ain ; Tim fabriquait et utilisait des cannes « Waves action ».

Celle de mon collègue à Champagnole B. D. professeur de mécanique qui a construit mes meilleures règles pour tailler les profils, puis la machine permettant d’usiner les ébauches des baguettes triangulaires qui est en photo dans « De A à Z ». Elle est actuellement équipée d’un nouvel outil avec quatre jeux de pastilles carbure au lieu de deux. Également trois cales ingénieuses pour les mesures (voir « Mesure avec une cale triangulaire »). Encore à son actif un dispositif astucieux composé d’un moteur de rôtisseuse avec un tube en acier fixé sur son axe, suffisamment épais pour le munir de trois vis à 180° constituant ainsi un mandrin rudimentaire. Le tout sur un support assez lourd avec une fixation permettant de varier « l’angle de tir », l’objet ayant l’allure d’un obusier miniature ! Dans quel but ? Faire tourner lentement un scion ou un talon fixé dans le mandrin, pour le vernir « à la goutte », selon la méthode que j’ai expliquée à Josselin de LESPINAY.

Une nouveauté technique m’a aussi été favorable : c’est un modèle resté célèbre de calculatrice, la HP 41 sans laquelle je n’aurais pas pu écrire mes programmes de calculs des profils.

Cliquez sur l'image pour accéder au diaporama «Syrinx »

Deux certitudes au départ de mes recherches : qu’il n’était pas concevable d’avoir un saut des diamètres au niveau de la virole mais surtout qu’un talon et un scion avec des conicités constantes ne pouvait pas être la bonne solution, qu’il fallait des pentes variables, ce que les anglo-saxons appellent « compound taper » (ainsi la canne « Syrinx » construite pour Albert DRACHKOVITCH, voir photos) et ce, dans le but de remédier à des défauts manifestes. Par exemple j’avais observé, sur de nombreuses cannes, que leur courbure atteignait son maximum entre les deux derniers serpentiformes, prouvant qu’il y avait là une sous épaisseur car elle devrait s’accentuer entre le dernier serpentiforme et l’anneau de tête (voir le schéma précédent « Comparaison de deux cannes de 2,50 m »). Également, sur des cannes anciennes, j’avais constaté qu’après une longue durée d’utilisation, leur vernis se craquelait en sortie de poignée et dans la même partie du scion. Des craquelures exactement perpendiculaires à l’axe de la canne révélant un étirement de la pellicule de vernis, supérieur dans ces zones à celui des zones voisines. C’était la preuve qu’il en était de même pour les fibres de bambou soumises à une plus forte contrainte [2]. D’où l’idée de rechercher des profils de cannes s’approchant le mieux possible de l’égale contrainte.

Ce n’est pas une vue de l’esprit, c’est une démarche générale pour les structures soumises à des déformations. C’est d’autant plus important quand elles sont soumises à des mouvements rapides. Une surépaisseur c’est une masse en plus à mouvoir qui « fatigue » les zones en sous épaisseur.

Comment y parvenir et est-ce possible d’y parvenir ? Sans aucun doute ! Et déjà d’une façon purement expérimentale. Les motoristes par exemple, pour dessiner des bielles, des vilebrequins sans points faibles ni lourdeurs inutiles utilisent des « jauges de contraintes » ou « jauge extensométrique, instrument destiné à mesurer les variations dimensionnelles d'un élément de structure dans le but d'évaluer les contraintes qu'il subit. »

Ces jauges sont basées sur la variation de résistivité de conducteurs disposés sur la pièce à étudier. Bien difficile à mettre en œuvre pour une canne à mouche ! Mais il existait une méthode plus rustique qui m’a été expliquée il y a bien longtemps, lors d’une visite aux bureaux d’étude des usines Berliet à Bourg-en-Bresse, au moment où justement je me penchais sur les calculs de profil. Elle consiste à recouvrir les pièces d’un vernis « craquelant ». Après essais, la direction et l’espacement des craquelures renseignent sur les contraintes subies par les fibres extérieures. Ces vernis n’ont rien à voir avec les produits pour vieillir les tableaux ou autres effets décoratifs. Cette technique qui a même été utilisée pour l’aviation, semble plus ou moins obsolète mais les renseignements ne manquent pas tant dans les sites en français ou anglo-saxons à « Brittle lacker, cracking varnish stress analysis ». Un renseignement, ils seraient à base de colophane. Comment les utiliser : en les étalant partiellement sur la canne, en pratiquant suffisamment de lancers à des distances variables pour faire apparaître les craquelures et en déduire suivant leur concentrations les zones à renforcer. Bien entendu, il s’agit d’une méthode statistique, les contraintes maximum dépendant de la longueur et de la cadence des lancers, du style du lanceur. Mais n’en est-il pas de même pour un vilebrequin soumis à des contraintes variables suivant le régime du moteur ?

On retiendra donc la possibilité de s’approcher expérimentalement d’un profil d’égale contrainte.

Mais, ne disposant pas comme Walter BRUNNER des moyens de procéder à de multiples essais, c’est par le calcul que j’ai tenté de le faire. Le but étant choisi, la mise au point d’une méthode de calcul, d’abord avec l’aide de graphiques puis informatisée, le réglage des outils pour respecter les cotes, et la réalisation d’un prototype ont représenté une succession de tâches laborieuses. Mais quelle bonne surprise à la fin ! Le prototype, ma canne N° 35 « ISO 80 » (ISO pour égale contrainte, 80 g, rebaptisée Balerne du nom d’un petit affluent de l’Ain en aval de Champagnole) achevée à la fin des années 1970, s’est révélée différente de toutes celles que j’avais pu essayer. Ce fut une expérience autrement gratifiante que le tâtonnement, au sens propre jubilatoire ! 

Jusqu’à ce jour j’avais renoncé à diffuser mes méthodes, mes programmes, du fait simplement de la difficulté à les expliquer. L’âge venant j’ai jugé bon de combler cette lacune. Malheureusement, malgré tous mes efforts, la difficulté retombe sur le lecteur ! Mes calculs sont laborieux à suivre mais au moins ils sont publics, peuvent être vérifiés et discutés. Je peux aussi répondre à des questions, mon adresse mail figure au chapitre « Contact ».

IMPORTANT :

1) Mes calculs ne visent qu’à répartir les épaisseurs entre la cote sur plats sous la main, qui résulte d’un choix et celle en pointe qui doit être la plus faible possible mais capable de supporter une autre contrainte que le moment fléchissant : l’effort tranchant. D’après mon expérience il me semble imprudent de descendre en dessous de 1,4 mm. De même, la longueur de la canne résulte elle aussi d’un choix et non d’un calcul.

2) Ma prise en compte des contraintes qui vont provoquer la courbure de la canne utilise comme modélisation une tige droite qui pivote autour d’un axe fixe ! Je suis bien conscient, depuis que j’ai mis au point mes programmes de calcul au début des années 80, que cette hypothèse simplificatrice est discutable pour une canne à mouche alors qu’elle serait légitime pour des objets qui se déforment peu, par exemple des clubs de golf. C’est une des raisons pour lesquelles mes méthodes ont évolué.

Dans le dernier paragraphe je proposerai une technique originale, expérimentale mais étayée par des calculs théoriques, d’amélioration de mes profils calculés. Je l’ai mise au point en cette année 2020.

Ma première approche m’a fait simplement retrouver un résultat bien connu d’égale contrainte pour une poutre soumise à une force unique à son extrémité. Le moment fléchissant étant proportionnel à la longueur du bras de levier, donc à la distance depuis l’anneau de tête, \(MtF = k \times L\), la condition d’égale contrainte vue dans « Résultats théoriques » : \(c= \large \sqrt[3] {\frac{MtF} {cte}}\)équivaut à \(c=k \sqrt[3] {L}\)

Ce que l'on peut formuler par : les épaisseurs croissent proportionnellement à la racine cubique de la distance à l’anneau de tête.

Le fait d'imposer une valeur de la cote sur plat en un point de la canne permet de calculer la valeur de \(k\), puis de calculer point par point toutes les autres.

Exemple de profil d’égale contrainte sans tenir compte de la masse du bambou avec une longueur depuis la main (point \(O\) de la canne) de 200 cm et une cote sur plats en \(O\) de 8 mm.

Égale contrainte

Autres exemples en faisant varier le coefficient de proportionnalité :

Famille de profils \(c = k \sqrt[3] {l}\)
si \(l = 0 \;\) \(c =\)1,4 ou 1,5 mm
Schéma : quatre profils

C’est ce type de profil que j’avais soumis à Tim BEDFORD ! Il m’avait envoyé peu de temps après des baguettes pour un talon avec une pente de 2,5/1000 et des baguettes, au nombre de huit, deux en plus sans doute en cas d’accident, avec ce 1er profil calculé \(c=1,17 \sqrt[3] {L}\).

J’ai « alvéolé » et collé les baguettes du talon, ce qui m’a permis de juger de l’exceptionnelle qualité du bambou. Quant aux huit baguettes du scion elles sont toujours en attente, précieusement conservées en pensant avec émotion à ce cher ami.

Pourquoi ? Motivé par ce contact amical au-delà de l’Atlantique, j’avais réalisé que je ne pouvais pas en rester à cette première approximation. La canne doit propulser la soie mais aussi s’auto-propulser. C’est ce qui apparaît lors d’un mouvement de lancer à vide, sans soie : la canne se courbe du fait de sa propre inertie. Il me fallait tenir compte de cette nécessité d’auto-propulsion. De ce fait, il n’était pas question de gâcher les précieuses baguettes pour vérifier une idée déjà périmée.

Mes programmes de calculs qui ont suivi cette première tentative conservent le but d’approcher de l’égale contrainte mais tiennent compte des moments de flexion dus à la propulsion de la canne par elle-même en plus de celui dû à la soie.

Voici un exemple traité graphiquement pour expliquer ma méthode.

Données :

Il s’agit de calculer le profil d’une canne dont la longueur depuis la main jusqu’à l’anneau de tête est 200 cm. La cote sur plats sous la main est 8 mm (Point \(O\) de la canne) et la masse moyenne de soie manœuvrée 12 g (ce qui correspond à peu près à un posé à 15 m). Le profil sera référencé par P 200-8-12
Le préalable est de définir un profil fictif \(P_0\) qui va permettre d’évaluer les masses de bambou. Par exemple, un profil conique, de 8 mm sous la main à 2 mm en pointe, pente 3/1000. Les répétions de calculs, (itérations) prouveront que les cotes calculées convergent au sens mathématique du terme et sont indépendantes de \(P_0\). Plus tard, dans le programme de calcul en fin de chapitre, cette stabilisation des résultats est évaluée par la ligne delta.

Profil d'une canne

La canne est partagée en tronçons de 10 cm de long assimilés à des « morceaux de crayon » sans conicité, dont le centre de gravité est le milieu de la longueur. La cote sur plat \(C\) permettant de calculer le volume de l’élément est la cote au centre de gravité.

On a \(V= C^2 \times \displaystyle \frac {\sqrt {3}} {20} \;\) \( \underline {C \text { étant exprimée en mm}}\)

La masse volumique du bambou alvéolaire, avec vernis, anneaux est estimée à 1g/cm². Elle est donc exprimée par le même nombre que \(V\).
Pour les deux premières données signalées en bleu qui concernent la géométrie de la canne, je donnerai une méthode radicale qui supprime toute approximation. Concernant la masse volumique du bambou, alvéolaire ou pas, une donnée plus précise aura un effet négligeable sur la répartition entre les moments de flexions dus à la propulsion de la soie (exactement à son accélération) et ceux dus à la propulsion de la canne elle-même. Cette précision apportée n'aurait pas plus d'effet qu'une modification légère de la masse de la soie, inférieure à 0,5 g. La seule amélioration réelle est, dans le cas d’un assemblage par virole, de tenir compte du moment dû à sa propulsion.

Le moment de flexion dû à la soie en \(O\) est égal à \(M_s \times {\large \gamma} \times L\)

Dans l’exemple L = 200 cm, \(\large \gamma \) est un paramètre.

Pour une commodité de représentation j’ai choisi de diviser cette valeur par \(L \times \large \gamma\). Ce qui fait que le moment qui s’exprime en Nm (Newton mètre) ou joules par radian, n’est plus représenté que par la masse de la soie, dans l’exemple 12 g (échelle 1cm/g). Mais je respecterai les proportions en faisant de même pour les moments fléchissants \(M_i\) dus à la propulsion des tronçons de la canne qui seront donc, eux aussi, représentés en grammes. Et ce sont ces valeurs en grammes que je totaliserai graphiquement. Les cotes sur plats seront calculées point par point, proportionnellement à la racine cubique de leur total. Je reviendrai sur cette question car sans cette division par \(L \times \large \gamma\), dont le seul but est de faciliter la construction graphique, une explication plus rationnelle est possible, se rattachant au moment d’inertie de l’ensemble canne - soie.

Si \(\large \gamma_i\) est l'accélération à laquelle est soumis le centre de gravité d’un tronçon, \(\large \gamma_i = \large \gamma \times \frac{OG_i} {L}\)

Cette distance à \(O\) du centre de gravité d’une section correspond à la ligne « position CG » du tableau.

Si \(m_i\) est la masse de la section numéro \(i\) , et \(M_i\) le moment créé à la base, on a \(M_i = m_i \times {\large \gamma \times \frac{OG_i} {L}} \times OG_i\)

Pour respecter les proportions par rapport au moment de la soie, il faut diviser ce nombre par \( {\large \gamma} L\) .On obtient :

Représentation de \(M_i = m_i \times \large \gamma \times \frac{OG_i} {L} \times \frac{OG_i}{\gamma L}\)

Représentation de \(M_i = m_i \times \left( \large \frac{OG_i} {L} \right) ^2\)

Puisque \(\large \frac {X_i} {L}\) est sans dimension, la représentation des moments s’exprime bien en grammes.

Première itération
Numéro des sections 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Position CG cm 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195
Cote au CG mm 7,85 7,55 7,25 6,95 6,65 6,35 6,05 5,75 5,45 5,15 4,85 4,55 4,25 3,95 3,65 3,35 3,05 2,75 2,45 2,15
Indice de position 0,025 0,075 0,125 0,175 0,225 0,275 0,325 0,375 0,425 0,475 0,525 0,575 0,625 0,675 0,725 0,775 0,825 0,875 0,925 0,975
Indice \(\large \gamma\) 0,025 0,075 0,125 0,175 0,225 0,275 0,325 0,375 0,425 0,475 0,525 0,575 0,625 0,675 0,725 0,775 0,825 0,875 0,925 0,975
Masses section en g 5,34 4,94 4,55 4,18 3,82 3,49 3,17 2,86 2,57 2,30 2,037 1,793 1,564 1,351 1,154 0,972 0,806 0,655 0,520 0,400
Moment à la base 0,0033 0,028 0,071 0,128 0,194 0,264 0,335 0,403 0,465 0,518 0,561 0,593 0,611 0,616 0,606 0,584 0,548 0,501 0,445 0,381
Moment cumulés à la base 7,85 7,85 7,82 7,75 7,62 7,43 7,17 6,83 6,43 5,96 5,45 4,9 4,3 3,68 3,06 2,46 1,88 1,32 0,82 0,381

Somme graphique des moments de flexion

Chaque moment additionnel dû à la propulsion de la canne par elle-même prend naissance au centre de gravité d’une section, d’où le graphique suivant dans lequel les ordonnées des points de la courbe supérieure donnent la somme des moments fléchissants dus à la propulsion de la soie et des tronçons de la canne en tous ses points.

Profils 1 à 20

On relève en \(O\), sur ce schéma et sur le tableau \(M_s + \sum_{1}^{20} m_i \left( \dfrac{OG_i}{L} \right) = 12 + \textbf{7,85} = 19,85 \; \text {g}\)

La valeur de 7,85 g est une sorte d’« effective tip mass » de la canne qui va augmenter quand on remplacera \(P_0\) par \(P_1\) dans le calcul des masses des tronçons (\( P_1\) est plus « ogival » que \(P_0\)). Prenons 8 g comme valeur approchée ce qui fera 20 g pour l’ensemble Canne / Soie.

On remarquera que dans le moment exercé par le lanceur pour accélérer l’ensemble Canne / Soie, 40% sera consacré à la canne et 60% à la soie !

Calcul de \(k\) avec \(C_0 = 8 \; \text {mm}\)

\(8 = k \sqrt[3] {19,75}\) \(k = {\large \frac {8} {\sqrt[3] {19,75}}} = 2,960\)

Calculs des cotes sur plats point par point : On relève sur le graphique la somme des moments tous les 10 cm.

Puis \(Cx = 2,960 \sqrt [3] {Mx} \;\)Par exemple : \(C_{90} = 2,960 \sqrt [3] {8,5} = 6,04 \; \text {mm}\)

x = position 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Moment 19,85 18,5 17 15,6 14,3 13 11,85 10,7 9,6 8,5 7,5 6,5 5,6 4,75 4 3,25 2,5 1,8 1,2 0,6 0
\(C_1(x)\) 8,00 7,83 7,6 7,4 7,185 6,96 6,75 6,52 6,3 6,04 5,79 5,52 5,26 4,98 4,7 4,38 4,0 3,6 3,14 2,5 1,4

Méthode de calcul des moments cumulés en un point X de la canne.

Indépendamment de la lecture sur le graphique de la somme des moments dus à la propulsion de la soie et de la canne, un exemple de calcul :

Somme des moments additionnels dus à la canne en X à 1m de O

Cela concerne les sections de 11 à 20 de la canne.

On retrouve les résultats extraits du tableau complet dans les lignes 2, 3 et 5. Seul change l’indice de position qui exprimait le rapport entre la distance \(OG_i/L\) remplacé par \(XG_i/L\) (qui correspond à un changement de « bras de levier »)

La ligne 7 donne les moments partiels en \(X\) et la 8 leur cumul en \(X\).

Numéro des sections 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Position CG cm 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195
Cote au CG mm 4,85 4,55 4,25 3,95 3,65 3,35 3,05 2,75 2,45 2,15
Indice de position 0,025 0,075 0,125 0,175 0,225 0,275 0,325 0,375 0,425 0,475
Indice \(\large \gamma\) 0,525 0,575 0,625 0,675 0,725 0,775 0,825 0,875 0,925 0,975
Masses section en g 2,037 1,793 1,564 1,351 1,154 0,972 0,806 0,655 0,520 0,400
Moment en X 0,027 0,077 0,122 0,160 0,188 0,207 0,216 0,203 0,204 0,176
Moment cumulés en X = 100 1,58 1,553 1,476 1,354 1,194 1,006 0,799 0,583 0,38 0,176

En \(X\), le moment de la soie est \(6 \; \text{g} \; \large {\left ( \frac {12 \times 100} {200} \right )} \), celui des 10 tronçons en amont de canne 1,58 g. On a donc une somme de 7,58 g alors qu'elle a été évaluée sur le graphique à 7,57 g.

\(C_1 (100)\) est la valeur calculée. \(C_1 (100) = 2,963 \sqrt [3]{1,58 + 6} = 5,8145 \; \text {mm} \) à la place du 5,7 mm obtenu à partir d'une construction graphique.

Dans le schema ci-dessous, j’ai représenté et \(C_1\) et \(C_3\) en utilisant le programme de calcul. \(C_3\) est stable !

Profils P0, P1 et P3

La répartition des épaisseurs entre propulsion de la soie et autopropulsion de la canne

Pour bien comprendre la différence entre mon approche « primitive » de l’égale contrainte, qui ne tenait pas compte de la masse de bambou qui doit s’autopropulser, puis ma méthode mise au point en 1986 qui en tient compte, il est intéressant de faire apparaître les épaisseurs qui servent à propulser la ligne seule. Par exemple pour P1 puisqu’on connait la valeur de \(k\) \( \left( k = 2,960 \right)\). Je calcule les cotes grâce à la relation \(C_x = 2,960 \sqrt[3]{Mx}\) mais en remplaçant le moment total dû à la soie et à la canne par le seul moment dû à la soie (voir l’avant dernier tableau). J’appelle ces cotes \(C_Px\), P comme primitif !

Position 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Mt soie 12 11,4 10,8 10,2 9,6 9,0 8,4 7,8 7,2 6,6 6,0 5,4 4,8 4,2 3,6 3,0 2,4 1,8 1,2 0,6 0
\(C_px\) 6,78 6,67 6,54 6,4 6,3 6,15 6,0 5,9 5,7 5,55 5,4 5,2 5,0 4,8 4,55 4,25 4,0 3,6 3,15 2,5 1,4
Profils P1 et PP

En conclusion mes profils actuels sont de la famille \(c = k \sqrt[3]{l}\) mais augmentés pour tenir compte de l’inertie propre de la canne.

Passage d’une somme discontinue à une intégrale

J’ai expliqué plus haut qu’il y avait un moyen pour lever toutes les réserves concernant la modélisation de la canne assimilée à 20 tronçons de 10 cm de long, de diamètre constant égal au diamètre moyen. Les objections : le vrai volume du tronçon n’est pas le même, et le centre de gravité du tronçon n’est pas en son milieu ! C’est vrai, il est décalé vers la base.

On verra ce qu’il en est de leur validité. Le problème est facilement résolu en passant

de \({\Large\sum}_{1}^{20} m_i \left( \displaystyle\frac {OG_i}{L}\right) ^2\)

à \(\displaystyle{\large\int}_0^{200} \varrho S_x \times \left( {\large \frac {x}{L}}\right)^2 dx\) où \(\varrho S_x dx = dm \)

Un peu de calcul : \(C_x\) est la cote sur plats au point d’abscisse \(x\) donnée par le profil fictif \(P_0\) :

\(C_x = 0,8-0,003 \;x\) en cm

\(S_x\) est la section de la canne au même point :

\(S_x = {\large \frac {1}{2}} \sqrt{3} \; (0,8-0,003 \; x)^2\) en cm²

\(dV_x\) le volume élémentaire au même point \(dV_x = {\large\frac {1}{2}} \sqrt{3} \; (0,8-0,003 \; x)^2 dx\)

En conservant la masse volumique de 1 g/cm3, la masse élémentaire est donnée par le même nombre en g

Il suffit d’intégrer : \(\displaystyle{\large \int}_0^{200} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\; (0,8-0,003 \; x)^2 \times \left(\displaystyle\frac{x}{L}\right)^2 dx\)

Le résultat est 7,852 en accord (voir tableau ci-dessus) avec celui trouvé avec la modélisation proposée.

Le détail des calculs est visible en cliquant ici

De même pour la somme des moments en un point quelconque de la canne. Je reprends l’exemple de \(X\) à 1 m de \(O\) avec une intégration :

On remplace \(I_x = \displaystyle\sum_{11}^{20} m_i \times \displaystyle\frac {OG_i}{L}\times \displaystyle\frac{XG_i}{L}\)

par \(I_x = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle{\large\int}_{100}^{200} (0,8-0,003 \; x)^2 \times \displaystyle\frac {x-100}{200} \times \displaystyle\frac {x}{200}dx\)

Il est plus commode de calculer cette intégrale après un changement de variable, \(x\) désignant la position par rapport à \(X\) et non par rapport à \(O\).

\(I_x = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle{\large\int}_{0}^{100} (0,5-0,003 \; x)^2 \times \displaystyle\frac {x}{200} \times \displaystyle\frac {x+100}{200} \times dx\)

0,5 étant le valeur de \(C_x\) en \(X\)

Je ne détaille pas les calculs, le résultat exact est 1,501 à 10⁻⁴ gramme près.

On a donc une somme sur le graphique dépassant 1,5 g , par l’addition des tronçons de 11 à 20, \(I_x\) = 1,58 g et par un calcul intégral, la valeur exacte à 10⁻⁴ g près \(I_x\) = 1,501 g ce qui prouve la cohérence des méthodes.

Mais pourquoi ne pas utiliser depuis le début cette meilleure méthode qu’est l’intégration ?

Parce qu’elle nécessite de connaître la fonction qui définit la cote en tout point, ce qui est réalisé pour le profil \(P_0\) mais pas pour \(P_1\) résultat de la première itération. \(P_1\) est défini par points. Alors trois solutions :

19 mai 2020

Calculs basés sur le moment d’inertie canne-soie.

J’ai évoqué précédemment une explication plus rationnelle de mes méthodes de calcul se rattachant au moment d’inertie de l’ensemble canne-soie.

Pour cela il faut revenir à la modélisation initiale avec toutes les réserves qu’elle suscite et sur lesquelles je reviendrai.

La canne est assimilée à une tige qui pivote autour du point fixe \(O\) (milieu de la main) et la soie à une masse ponctuelle à une distance \(L\) de \(O\)

L’action d’un moment exercé par la main du lanceur en \(O\) va provoquer une accélération en rotation \( \large \theta "\) de l’ensemble canne-soie. D’après le principe d’action mutuelle le moment résistant de cet ensemble est \(\overrightarrow{-M}\) . Le module \(M\) des ces deux vecteurs opposés est le moment de flexion de la canne en \(O\), en \(N.m\)

Pour un mouvement de translation, on a la relation bien connue :

\( \mathbf{F = m} \large \boldsymbol{\gamma}\) où la masse en kg est la grandeur qui s’oppose à la mise en mouvement.

La grandeur qui s’oppose à la mise en rotation est le moment d’inertie de l’ensemble que je note \(I_{SB}\), S pour soie et B pour bambou \(I_{SB} = I_S + I_B\)

\( \mathbf{M = I_{SB} \boldsymbol{\times \large \theta}"}\)

L’unité de moment d’inertie est le kg.m². Pour des nombres plus parlants, j’utilise le g.cm²

1g.cm² = 10-7 kg.m² 

Calcul de \(I_{SB}\)


où \(m_s\) est la masse de la soie
\( \varrho\) la masse volumique en g/cm³

Calcul du moment de flexion \(M(x)\) en un point quelconque d’abscisse \(x\) 

\(M(x) = \left[ ms \times L(L-x) + \displaystyle{\large\int}_{x}^{L} \varrho s(x)dx \times x² \right] \times \theta "\)

Suivant la proposition « deux grandeurs proportionnelles à une même troisième sont proportionnelles entre elles », la condition d’égale contrainte :

Le diamètre (ou cote sur plats) est proportionnel à la racine cubique du moment de flexion, équivaut à :
Le diamètre (ou cote sur plats) est proportionnel à la racine cubique du moment d’inertie de l’ensemble canne-soie.

27 mai 2020

Mes programmes de calculs sur HP 41
Les explications servent aussi pour le programme de calcul « F 2020 » ci-après.

Ils nécessitaient des choix :

Ces trois données définissant le profil, exemple P 200 8 12
Le profil \(P_0\) permettant d’amorcer le programme était un profil conique variant de \(C0\) à la base à 2 mm en pointe.
Les calculs des cotes sur plats étaient rigoureusement calqués sur la méthode graphique, avec découpage de la longueur en tronçons de 10 cm.
J’arrêtais les calculs à la 3ème itération, les variations des résultats dans les itérations suivantes passant en dessous de 2 centièmes de mm. (On dit que les calculs convergent).
Concernant le profil fictif \(P_0\) un autre choix plausible ne modifiait pas le résultat.

J’ai cherché à améliorer cette première version, en adoptant une autre modélisation du mouvement de la canne. Au lieu d’une rotation de centre \(O\), je l’ai assimilée à une rotation autour d’un point fictif, \(O’\) plus bas que \(O\) (voir schéma). C’est une approche pour tenir compte du mouvement de la main qui doit accompagner celui de la canne. Pourquoi ne pas aller jusqu’à \(OO’ = L\) ? J’y reviendrai dans la partie consacrée au programme F 2020.

Une autre idée basée sur des photos stroboscopiques de ma « Standard » montrant une onde de déformation montant de la poignée à l’anneau de tête (voir schéma) m’avait incité à considérer que chaque point \(X\) de la canne était successivement axe de rotation, donc à calculer le moment d’inertie \(I_X\) de la partie amont de la canne et de la ligne par rapport à ce point \(X\). C’était mon programme « Onde ». La condition d’égale contrainte dans cette hypothèse était la proportionnalité de la cote sur plats \(C_X\) avec la racine cubique de \(I_X\).
Je n’ai pas observé de différence notable dans les cotes finales avec cette nouvelle méthode que je ne développerai pas.

Compte tenu de la quantité de recherches menées aux US sur les « fly rods », il y a fort à parier que cette idée a déjà été émise et que je ne fais qu’enfoncer une porte ouverte. Mais c’est le lot de toute recherche menée en solitaire « dans son jardin ». Une graine qu’on y découvre a pu déjà germer ailleurs !

Quel bilan tirer sur la cinquantaine de cannes aux profils calculés selon ces méthodes ?

Aux impressions que j’ai déjà expliquées, ressenties lors des essais de l’ISO 80, j’ajoute la sensation d’une canne comme débarrassée de poids morts, sans points faibles, répondant dans l’instant à toutes les sollicitations de la main du lanceur. Sans aucun doute mes cannes se rattachent aux « One pièce action » (voir le paragraphe « Wave action, One pièce action » en tête de ce chapitre). Les photos visibles sur le site montrent aussi que mes cannes plient très peu, ce qui rend plus acceptable ma modélisation qui les assimile à des tiges rigides !

Un effet immédiatement sensible de mes méthodes de calcul a été le renforcement du scion. Il est intéressant de remarquer que Charles RITZ avec ses derniers modèles qu’il qualifiait HS HL (Hight Speed Hight Level) en refendu puis en fibre de verre (avec des diamètres en pointe énormes !) et le tandem Walter BRUNNER - Hans GEBETSROÏTHER sont arrivés aux mêmes résultats de façon expérimentale. Avec toutefois une différence : mes calculs imposent aussi une très forte conicité des pointes de scion, ce qui les rend particulièrement légères. Leur faible inertie (voir aussi « Anneaux de tête ») autorise des mouvements très rapides indispensables pour les lancers très courts.

Avec maintenant beaucoup de recul, et en comparant « Standard » et « Bourrasque », il m’apparaît que mes méthodes de calcul donnent un juste profil dans les parties de la canne où l’énergie est communiquée au bambou par le bambou. C'est-à-dire au moins sur les trois quarts de sa longueur, mais que la zone où la main transmet l’énergie au bambou mérite une étude particulière. A défaut d’une théorie sur cette transmission d’énergie, j’explique plus loin dans « Mise au point expérimentale d’un renfort du talon... » comment disposer d’un talon réglable permettant empiriquement de trouver son bon profil, et je propose aussi les outils mathématiques permettant de quantifier et visualiser son choix.

Utilisation de F 2020
Rédigé sur mes indications par mon fils François BRÉMOND

Programme F 2020 - Feuille de saisie

Téléchargez « F 2020 » (Tableur) ici

Contrairement à mes programmes anciens « Profil » et « Onde », dans lesquels la canne est partagée en tronçons de 10 cm, dans le programme « F 2020 » elle est partagée en 25 tronçons égaux quelle que soit la longueur de la canne. Exemples : pour \(L\) = 200 cm, chaque tronçon mesure 8 cm, pour \(L\) = 225 cm, 9 cm et c’est seulement pour \(L\) = 250 cm qu’on retrouve l’écart standard de 10 cm.
Ce n’est pas très commode pour des longueurs telles que 210 cm ou 260 cm ! Cela oblige à tracer le profil pour retrouver les cotes tous les 10 cm mais il existe aussi des programmes au départ prévus pour passer des mesures anglo-saxonnes aux mesures métriques qui permettent de résoudre ce problème. Autre différence, les cotes sur plats sont en cm et non en m.

Dans l'onglet « Feuille de saisie », les paramètres à choisir apparaissent en orange colonne B. En écrivant une valeur dans une case, elle remplace la précédente.

Paramètres Unités Colonne B
\(L\) : longueur de la canne depuis la main (point \(O\)) cm case B2
\(C_0\) : diamètre ou cote sur plats en \(O\) cm case B3
\(m_s\) : masse moyenne de soie gramme case B6

La case 4 se rapporte au profil fictif \(P_0\) qui permet de commencer les itérations. La valeur zéro a un côté irréel. Mais le choix d’une valeur plus plausible entre 0 et 0,2 cm n’influe pas sur le résultat final. Pourquoi pas 0,14 cm comme sur mes cannes ?

Les cases 7 et 8 se rapportent à la modélisation du mouvement de la canne. Si on choisit 0 en 8 et 1 en 7, cela correspond à une rotation de la canne autour de \(O\). Si en 8 on impose une valeur non nulle, cela revient à assimiler le mouvement de la canne à une rotation autour d’un point virtuel \(O'\) plus bas que \(O\).
C’est une modélisation que j’ai évoquée dans mes programmes sur HP 41 (Voir schéma qui explique où se place \(O'\) et calcul de \(OO'\) ci-dessous, ainsi que ma note sur les profils de GARRISSON [3])

Schéma place O' et O''

Mise au point expérimentale d’un renfort du talon de la canne à partir de la poignée. Avril 2020

Méthode

L’expérience sur plusieurs de mes cannes de l’augmentation de la conicité du bas du talon, sur une longueur de 50 à 60 cm s’est montrée profitable. Mes profils « Bourrasque » et « Alcibiade » sont jugés plus plus performants et agréables que mon profil « Standard ». La réponse est plus dynamique et il me semble que l’on ressent plus de souplesse dans la canne alors qu’elle a été épaissie. Est-ce parce qu’on peut lui communiquer une impulsion plus énergique ?

Cliquez sur l'image pour accéder au diaporama «Anaïs »

Mais, en l’absence d’un programme de calcul qui prenne en compte rationnellement le rôle particulier du bas du talon, là où le lanceur apporte l’énergie qui se propagera le long de la canne jusqu’à la soie, comment mettre au point ce renfort sans de multiples essais exigeant chacun de construire un talon ? Et à l’aveugle !

Voilà la méthode expérimentale que je suis en train de tester qui permet de réaliser les essais avec un seul talon, le renfort étant réglable !
Sur ce talon « M.B.I. » collé, mais sans poignée, j’ai complété sur 40 cm depuis la zone « sous la main », la section hexagonale par trois baguettes triangulaires de mêmes épaisseurs que celles de l’hexagone, collées fibres dures sur fibres dures à 2h, 6h et 10h, (possible aussi 4h, 8h, 12h) de façon à reconstituer une section en triangle équilatéral. Je l’avais fait pour la première fois sur « Anaïs » en 1984, plus pour des raisons esthétiques que mécaniques. L’idée avait été appréciée et reprise.

La nouveauté c’est la longueur des baguettes et le fait que j’ai quantifié leur effet.

La section en triangle équilatéral est 2,7 fois plus rigide que l’hexagone !! C’est dû aux propriétés de cette section que j’ai expliquées dans le paragraphe « Sections polygonales » des « Résultats théoriques ». Si j’ose dire « on en a sous le pied » ! Cela correspondrait à une multiplication de la cote sur plats par 1,28 (racine quatrième de 2,7), par exemple de passer d’une cote sur plats de 8 mm à 11,24 mm ! Et simplement en ajoutant trois baguettes de plus sur les six de l’hexagone ! J’ai pesé mes baguettes avant collage : 12 g. Donc avec 12 g en plus on peut multiplier par 2,7 la raideur de la section hexagonale sur 40 cm de long ! Ça vaut le coup !

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Ensuite, il faut évidemment réduire ces renforts. Et là, essais et calculs entrent en jeu pour le dégradé de leur hauteur, sachant qu’il n’est pas obligatoire de garder des triangles complets sous la main mais qu’il faut impérativement finir à zéro au bout du renforcement. Je dis tout de suite qu’une pente régulière n’est pas la bonne solution.

Si \(c\) est la cote sur plats de l’hexagone, si \(e\) est l’épaisseur conservée du renfort triangulaire et \(I(c,e)\) le moment d’inertie ou moment quadratique de la section renforcée par rapport à un axe passant par son centre de gravité qui caractérise sa résistance à la flexion (au prorata du module de Young du matériau), alors :

$$ \large {I(c,e) = \frac{1} {2 \times 3^{2,5}} \times \left[2 (c+e)^4 - \left(\frac{c} {2} -e \right)^4 - \left(\frac {c} {2} + 2e \right) ^4 \right]}$$
Résistance à la flexion de l'hexagone et du triangle complet

Cette formule, en ayant les données de \(c\), mesurées avant le collage des renforts et de \(e\) après collage et diminution du renfort, permet de comparer la résistance à la flexion, sur toute sa longueur, de la section renforcée avec celle de l’hexagone initial. On peut vérifier que pour \(e=0,\; I(c,0)\) est égal au moment d’inertie de l’hexagone et que pour \(e=\dfrac{c}{2}\), c'est-à-dire si on a conservé le triangle complet, \(I \left(c,\dfrac{c}{2} \right)\) est égal à 2,7 fois celui de l’hexagone.
Le calcul de \(I(c,e)\) n’exige qu’une calculatrice pour le collège.

Conseils pratiques

Je reviens et détaille la procédure que j’ai suivie sur le premier prototype « M.B.I. » : Partir d’une canne avec un talon non encore équipé de sa poignée. La peser, mesurer sa fréquence à vide, repérer sa courbe en charge statique, par exemple un newton, et l’essayer ! (pour cela utiliser une poignée de fortune, par exemple une tresse épaisse enroulée sur la canne).

Ensuite coller les renforts sur le talon. Il est préférable que les trois baguettes soient exemptes de nœuds, ce qui limite plus ou moins la longueur de la zone renforcée. Sur « M.B.I. » elle mesure 40 cm mais je regrette de ne pas l’avoir portée à 55 cm pour avoir un champ de réglage plus vaste. En particulier, j’aurai pu tester une « Bourrasque » de 2,15 m ! Une fois les renforts collés, on constate une raideur énorme. Mesurer de nouveau la fréquence à vide.

Avant les premiers lancers, il faut ébaucher des biseaux aux bouts des baguettes de renfort pour qu’elles ne s’arrêtent pas brutalement, puis réinstaller une poignée temporaire.

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Comment mettre au point leur profil final ?

Le premier critère c’est l’agrément ressenti à l’usage, qui dépend forcément du lanceur, donc c’est bien de ne pas se limiter à un avis unique ; également le déploiement de la soie qui doit être « en ligne » : s’il y a des ondulations, des vagues, cela révèle que l’onde de déformation de la canne a rencontré des zones de faiblesses ou d’excès de raideurs ; enfin, la performance en distance et déterminante. D’essais en essais, on diminue l’épaisseur des renforts en respectant leur égalité sur les trois côtés pour garder l’homogénéité de la résistance à la flexion (pas de points durs). Il ne faut pas arrondir les angles car, en maintenant des plats, on peut mesurer les cotes \(c+e\) . Grâce à ces cotes repérées tout du long du renfort, il sera possible grâce à l’expression de \(I(c,e)\) ci-dessus, de calculer le moment d’inertie de la section et les épaisseurs d’une section hexagonale qui aurait la même évolution des raideurs, l’idée étant de revenir in fine à un hexagone.

C’est une méthode totalement souple : on peut même tout ôter ! Et si on estime en avoir trop ôté, sur le méplat qui reste, on peut recoller un triangle : c’est réversible ! On a bien un talon réglable !


C’est une méthode expérimentale, à défaut d’un programme de calcul. Cela me fait penser au dégradé sur les biseaux d’un assemblage en épissure qui se fait « au toucher », jusqu’à ce que la raideur de l’assemblage soit la même dans toutes les directions de flexion.

Où j’en suis sur « M.B.I. »
Graphiques du renfort d'un talon

Pour les graphiques, j’ai utilisé le système de représentation des moments d’inertie ou quadratiques que j’ai expliqué dans le paragraphe « Études de profils de cannes » (voir \(C⁴/500\)).
Les valeurs de \(c\) et \(c+e\) sont représentées en rouge (épaisseurs de l’hexagone et du renfort). Les moments d’inertie ou quadratiques sont en bleu. La variation de \(e\) va donner une courbe entre les deux tracés en rouge \(c\) et \(c+ \large \frac{c} {2}\) à laquelle va correspondre une courbe des moments d’inertie \(I (c,e)\) entre les deux tracés en bleu, \(I (c,0)\) hexagone nu et \(2,7 \times I(c,0)\) hexagone avec triangles complets.

Sur « M.B.I. » j’ai décidé d’une \( \underline {\text{$1^{re}$ courbe des valeurs de } I (c,e)}\) qui se raccorde avec celle de l’hexagone initial qu’on peut noter \(I (c,o)\) et j’en ai déduit les valeurs de \(e\).

Les valeurs de \(c\) et \(e\) se lisent sur le graphique. Pour calculer \(I (c,e)\) mettre en mémoire \(K_1= \large \frac{1}{2 \times 3^{3,5}}\)


Position en cm 92,5 85 77,5 72,5 65
\(c\) mm 8,00 7,8 7,6 7,5 7,3
\(e\) mm 3,1 1,5 0,8 0,5 0,2
\(c + e\) 11,1 9,3 8,4 8 7,5
\( {\large\frac{c} {2}} -e\) 0,9 2,4 3 3,25 3,45
\( {\large \frac {c} {2}} + 2e\) 10,2 6,9 5,4 4,75 4,05
\(I(c,e)\) mm⁴ 626,63 406,10 289,51 242,85 189,80
\(I(c,e) \times K_2\) cm 20,8 13,5 9,6 8,1 6,3

Pour tracer \(I (c,e)\) en respectant l’échelle déjà utilisée, il faut multiplier \(I (c,e)\) par \(K_2=\large \frac{144}{5 \sqrt3 \times 500}\), un 2e coefficient à mettre en mémoire.

Les essais sont concluants, beau développement de la soie sans ondulation, tenue facile d’une bonne longueur d’une DT 5. Sur le schéma j’ai indiqué un deuxième profil des renforts à tester.

Pourquoi une pente régulière des renforts ne convient pas

La réponse est donnée par un exemple :

Talon nu avec cote à la base \(C_0\) = 8 mm et \(C_50\) =7 mm pente 0,2%

Renforts collés sur 50 cm. La hauteur des sections des baguettes de renfort est 4 mm à la base et 3,5 mm à 50 cm de la base (la moitié des valeurs de \(C\)). On suppose qu’on diminue linéairement la hauteur des renforts, de 4 mm à zéro (moins 0,8 mm tous les 10 cm).

Voir tableau ci-dessous et schéma

Position cm 0 10 20 30 40 50
\(C\) mm 8 7,8 7,6 7,4 7,2 7
\(C^4/500\) 8,19 7,4 6,67 6,00 5,37 4,80
\(e\) mm 4 3,2 2,4 1,6 0,8 0
\(C+e\) mm 12 11 10 9 8 7
\(C/2-e\) mm 0 0,7 1,4 2,1 2,8 3,5
\(C/2+2e\) mm 12 10,3 8,6 6,9 5,2 3,5
\(I(C,e)\) mm⁴ 655 578,2 466 347,6 273,3 144,4
Représentation cm 22,1 19,2 15,5 11,55 7,89 4,80

Les lignes 5, 6, 7 donnent les valeurs permettant de calculer \(I (C;e)\)

Ligne 5 : \(C+e\)Ligne 6 : \(C/2-e\)Ligne 7 : \(C/2+2e\)

Sur le schéma j’ai représenté les moments quadratiques de l’hexagone nu par la courbe \(C^4/500\) et j’ai divisé \(I (C,e)\) par \(\dfrac{500 \times 5\sqrt{3}}{144}\) pour respecter les proportions.

On constate le mauvais raccordement de la résistance à la flexion de la partie renforcée sur la suite du talon, avec même une cause de rupture au point d’arrêt du renfort.

En conclusion, si la formule de calcul de \(I (C,e)\) ne renseigne pas sur le choix du profil des renforts elle permet d’éliminer les fausses « bonnes solutions ».

Dans l’attente d’une période plus favorable à des essais partagés !
22 avril 2020